Bonetti je bil zaradi svojih izjemnih refleksov poznan pod vzdevkom "The Cat". Za Chelsea je branil med letoma 1960 in 1975 in nato še med letoma 1976 in 1979.

Največji uspeh v dresu modrih je dosegel leta 1971. V finalu Pokala pokalnih zmagovalcev v Atenah je Chelsea ugnal madridski Real z 2:1 na ponovljeni tekmi. Prvo srečanje se je končalo z 1:1. V podaljšku sta mreži mirovali, enajstmetrovk pa takrat še ni bilo.

Na angleških zelenicah izstopa finale Pokala FA leta 1970. 11. aprila sta se srečala Chelsea in Leeds United. Srečanje se je končalo z 2:2 in po takratnih pravilih je bila na sporedu ponovljena tekma. 29. aprila na Old Traffordu je bil Chelsea po podaljšku boljši z 2:1. Odločilni zadetek je dosegel David Webb v 104. minuti.

Le nekdanji kapetan modrih Ron Harris (795), ki je igral v istem času kot Bonetti, je zbral več nastopov za Chelsea. Bonetti je do januarja 2014, ko ga je prehitel češki vratar Peter Čech, držal tudi rekord po številu tekem, na katerih ni prejel gola.

V vratih Anglije stal le sedemkrat
Za angleško reprezentanco je zbral le sedem nastopov, saj je bil večinoma na klopi. Takrat je blestel eden največjih angleških vratarjev vseh časov Gordon Banks. Na svetovnem prvenstvu leta 1970 v Mehiki je Bonetti dobil priložnost v četrtfinalu, saj je Banks zbolel. Angleži so povedli z 2:0 proti Zahodni Nemčiji, na koncu pa so ostali brez polfinala (2:3 po podaljšku).