Rodil se je 18. oktobra 1943 v Ljubljani. Njegova družina se je po koncu 2. svetovne vojne izselila in tri leta živela po avstrijskih taboriščih. Leta 1948 so se preselili v Argentino. Andrej Bajuk je leta 1964 je diplomiral iz ekonomije v Mendozi, leta 1965 pa je opravil magisterij iz ekonomije na Universidad Nacional de Cuyo in University of Chicago (ZDA). Na University of California, Berkeley (ZDA), je leta 1974 tudi doktoriral.

Bajuk je kariero gradil na področju financ
Bil je profesor ekonomije na Universidad Nacional de Cuyo, pomočnik direktorja za Južno Ameriko pri Svetovni banki, nato je opravljal več različnih funkcij v Medameriški razvojni banki.

Vzpon na premiersko funkcijo
Ko sta se aprila 2000 stranki SKD in SLS združili v SLS + SKD Slovenska ljudska stranka, se je Bajuk prvič odmevneje pojavil v slovenskem političnem in medijskem prostoru. Bil je izvoljen za podpredsednika združene stranke. Po združitvi so ministri prejšnjega SLS-a odstopili s svojih položajev, kar je povzročilo padec tedanje vlade Janeza Drnovška. Kot novi mandatar je bil predlagan Andrej Bajuk in v tretjem glasovanju, 3. maja 2000, so ga poslanci izvolili za predsednika vlade. Bajuk je vlado vodil sedem mesecev.

Razkol v SKD-ju vodil v NSi
Med vodenjem vlade je avgusta 2000, zaradi nestrinjanja s predlogom spremembe volilnega sistema, izstopil iz SKD + SLS. Bajuk se je namreč strinjal s prvakom SDS-a Janezom Janšo, da Slovenija potrebuje večinski volilni sistem, medtem ko je njegova stranka tokrat podprla levico in tako uzakonila proporcionalni volilni sistem. Bajuk je menil, da je s tem poteptana ljudska volja, izražena na referendumu. Bajuk je prestopil v novoustanovljeno stranko Nova Slovenija in postal njen predsednik. Državnozborske volitve, ki so bile oktobra 2000, so mu prinesle izvolitev za poslanca v državnem zboru, postal pa je tudi vodja poslanske skupine NSi-ja. V parlamentu je vodil komisije za nadzor proračuna in drugih javnih financ.

Na naslednjih volitvah, oktobra 2004, je bil v volilnem okraju Ajdovščina/Vipava vnovič izvoljen za poslanca. Ko je NSi vstopila v vladno koalicijo, je Bajuku v novi vladi premierja Janeza Janše pripadlo mesto ministra za finance.