Sodil je med 'otroke šestdesetih', v generacijo mislecev, ki so uživali intelektualno svobodo v postalinski odjugi. V skupino 'šezdesjatniki' sta, na primer, sodila tudi Jevgenij Jevtušenko in pesnica Bela Ahamdulina.
Hruščov napovedal izgon iz države
Medtem ko je njegov izviren stih vznemirjal številne bralce, je hkrati jezil oblastnike, nakopal pa si je tudi kritiko pravoslavnih sovjetskih pisateljev. Sovjetski voditelj Nikita Hruščov je ob neki priložnosti celo izjavil, da bo Voznesenskega izgnal iz dežele. Njegova pesniška branja so polnila avditorije, z vse večjo intelektualno svobodo v obdobju "glasnosti" v poznih osemdesetih pa je začela njegova priljubljenost usihati.
Njegovih pesniških zbirk v slovenskem jeziku še ni mogoče prebirati. Andrej Voznesenski je med drugim tudi dobitnik zlatega venca Struških večerov poezije, najvišje nagrade te makedonske pesniške manifestacije. Podelili so mu jo leta 1984.