Ivan Kunej se je rodil v Zagrebu; očeta, ki je bil slovenskega rodu, so leta 1941 odvedli v Nemčijo, od koder se ni več vrnil, in tudi njegova mati je umrla še pred koncem druge svetovne vojne. Dokončal je Srednjo tehnično šolo in diplomiral na Akademiji dramske umetnosti.

Prva ljubezen je bila rokomet
Leta 1949 je v Zagrebu s hrvaško rokometno reprezentanco osvojil 1. mesto na prvem mladinskem prvenstvu nove Jugoslavije. Pozneje je živel v Makedoniji in tam prispeval
k razvoju rokometa ter postal član prvega odbora Zbora rokometnih sodnikov SFRJ-ja, nato pa športni parket zamenjal za gledališke deske.

V zagrebškem gledališču Komedija je do leta 1978 ustvaril več kot 70 vlog in odigral več kot pet tisoč predstav. Ob igralski karieri se je v Komediji posvečal tudi organizacijskim nalogam in postal odbornik v zagrebški mestni skupščini.

Med drugim se je izboril za izgradnjo Zagrebškega gledališča mladih in organizacije univerzijade v Zagrebu. Bil je tudi generalni direktor Zagreb filma (od leta 1982), direktor Zagrebške filharmonije (od l. 1985) in ravnatelj gledališča Gavella (od 1990 do upokojitve leta 1993). Odlikovan je bil z redom zaslug za narod s srebrno zvezdo in redom dela z zlatim vencem.

Igralec je bil doma tudi pred filmskimi kamerami: v klasiki Lordana Zafranovića Okupacija v 26 slikah je upodobil pomorskega kapitana, nastopil pa je tudi v Novinarju Fadila Hadžića, v zgodovinski drami Anno Domini 1573 Vatroslava Mimice in v TV-drami Ameriška jahta v splitskem pristanišču.

Kunej je bil tudi eden od častnih gostov lanske 95-letnice Slovenskega doma v Zagrebu, ki ima sedež na Masarykovi ulici 13 v središču Zagreba. V svojem nagovoru se je spomnil začetka svoje poti s kulturno-prosvetnim društvom leta 1953: "Bil sem v tretjem letniku akademije za igralsko umetnost in po pouku me je moja prijateljica Nada Nučič, hčerka Hinka Nučiča in Vike Podgorske, ki sta bila oba prvaka drame HNK v Zagrebu, vzela pod roko in rekla: "Zdaj boš šel z menoj!" In me je pripeljala v Slovenski dom, kjer me je pričakal Hinko Nučič in rekel: "Zdaj je čas, da vi prispevate nekaj temu Domu, ker so že vaši sestri in oče prispevali, zdaj pa je trenutek za vas." Na to sem rekel: "Z veseljem, ampak jezik je težava" Hinko Nučič pa: "Ko ste bili otrok, so vaši starši govorili slovensko. Človek manj pozablja, kot si misli, za to bom jaz poskrbel."