Na napake v dveh učbenikih matematike za 9. razred osnovne šole so na Predmetni komisiji (PK) za matematiko Nacionalnega preverjanja znanja (NPZ) postali pozorni leta 2013, ko so z več šol prišle pritožbe, da naj bi njihovi učenci »pravilno« reševali naloge, a vseeno ostali brez točk na NPZ-ju iz matematike. "Z nekaj šol smo takrat prejeli fotokopije dveh učbenikov, s katerimi so želeli učitelji oziroma ravnatelji, ki so jih poslali, dokazovati pravilnost, v navednicah seveda, odgovorov njihovih učencev. Rekli so, tako je prav, saj tako piše v učbeniku," je za MMC pojasnil predsednik PK-ja za matematiko, profesor dr. Darjo Felda. Napačno reševanje učencev se je dotikalo poglavja o verjetnosti, zato so na komisiji omenjeni poglavji obeh učbenikov vzeli pod drobnogled.

"Težko je reči, kaj vse je narobe. Že pri samem vpeljevanju pojma verjetnosti so določeni elementi napačno predstavljeni, tako v enem od učbenikov govorijo o pošteni in nepošteni igralni kocki, pri čemer ima nepoštena na dveh poljih šestico, štirice pa ni. To ne more biti razlog, da kocka ni poštena, saj lahko pade na vsako od šestih ploskev z enako verjetnostjo. Kocka je namreč poštena, če pade na vsako izmed šestih ploskev z enako verjetnostjo, o poštenosti ne odločajo številke ali slikice na njenih mejnih ploskvah," je Felda navedel, kako učbenik otrokom daje napačno predstavo o poštenosti kocke.

Neverjetna verjetnost
Podroben opis vseh napak je Felda objavil v strokovnem članku Neverjetna verjetnost, ki je istega leta izšel v osrednji slovenski strokovni reviji Obzorniku za matematiko in fiziko. "Mešajo pojme, ne vemo, kaj je frekvenca, kaj je relativna frekvenca, kaj je statistična verjetnost, kaj je teoretična verjetnost, skratka, notri je ena popolna zmešnjava, celotna razlaga verjetnosti v enem in drugem učbeniku je narobe, popolnoma nedosledna in nepravilna," je opozoril, da celotni razlagi verjetnosti v obeh učbenikih strokovno ne "držita vode", kar bi moral opaziti vsak diplomirani matematik.
Tudi matematične naloge, ki sledijo razlagi, so po njegovih besedah takšne, da učence samo še bolj zmedejo. Tako v eni izmed nalog v učbeniku Skrivnosti števil in oblik 9. Rok in Špela 100-krat v zrak vržeta kovanca za 50 centov, pri čemer morata najprej izračunati verjetnost dogodka, da na obeh kovancih pade triglav, nato pa izračun preveriti s stotimi meti kovancev. "Natančen izračun pokaže verjetnost 0,25, ona dva pa sta s svojim poskusom dobila 0,28, naloga nato v komentarju zapiše, da sta dobila 112 odstotkov pričakovane vrednosti in sta se torej zmotila za 12 odstotkov, kar je čista neumnost. Kako sta se lahko zmotila? Kaj to sploh pomeni? Takšne nedoslednosti so v tem učbeniku," je pojasnil Felda. Pri ugotavljanju relativne frekvence ne gre za nikakršno "zmoto". "Če ne vržemo kovancev dovolj velikokrat, ne moremo pričakovati, da bi bila relativna frekvenca enaka verjetnosti. Pred sabo imam učbenik iz leta 2015 in ugotavljam, da so vse te nedoslednosti ponatisnili, čeprav so bili opozorjeni nanje," je še dodal predsednik PK-ja za matematiko.
"Za omenjene učbenike obstaja dvom, da niso bili podvrženi ustreznemu temeljitemu strokovnemu pregledu. Načeloma pa ne bi delal prevelikega haloja okoli tega, v vsako besedilo se lahko prikradejo napake. Edino, kar me čudi, je to, da je tak učbenik potem potrjen kot ustrezen, in še bolj čudi to, da se celo ponatisne brez popravkov, kljub resnim pripombam. Lahko pa, da so odgovorni (napačno) presodili, da napake niso tako hude, da bi se zaradi njih učenci (pre)slabo seznanili s področjem verjetnosti," je na MMC-jevo poizvedbo pri Društvu matematikov, fizikov in astronomov Slovenije glede napak dejal profesor s Fakultete za matematiko in fiziko Gregor Šega.
Kaj je sledilo opozorilu na napake leta 2013?
PK za matematiko NPZ-ja je na omenjene napake, takoj ko so jih odkrili, po Feldovih besedah opozoril tako Zavod za šolstvo, ki učbenike strokovno pregleda in jim prižge "zeleno luč" za potrditev na ministrstvu, kot obe založbi, ki sta omenjena učbenika izdali. "V novi izdaji učbenika Skrivnosti števil in oblik 9 iz leta 2015 je precej enakih napak in nerodnosti pri razlagi verjetnosti kot v starejšem izvodu," je Felda opozoril na to, da še štiri leta po opozorilu ni nihče reagiral. "Na naše dopise založbam običajno prejmemo odgovor, da je učbenik potrjen in veljaven takšen, kot je," je še dodal.

Učbenika Kocka 9 trenutno ni več med potrjenimi učbeniki, se je pa po navedbi ene od profesoric matematike, s katerimi sem stopil v stik, prav tako nepopravljen uporabljal še do pred kratkim. Založbam sicer po Feldovih besedah ne gre kaj preveč zameriti, saj se zlahka legitimno sklicujejo, da je učbenik pač "potrjen" in veljaven takšen, kakršen je. Bolj nenavadno je to, da se na opozorilo niso odzvali na Zavodu za šolstvo, ki je takšna učbenika strokovno pregledal in podal pozitivno mnenje.

V povratni informaciji na dopis o napakah in nedoslednosti v učbenikih je Predmetna komisija za matematiko na Zavodu za šolstvo poudarila, da "opravlja svoje naloge pri potrjevanju učnega gradiva v fazi priprave Ocene ZRSŠ o usklajenosti učbenika s cilji, standardi znanja in vsebinami, opredeljenimi v učnem načrtu oziroma katalogih znanja". Naloga skupine naj bi bila "vezana na pregled ciljev in standardov, odgovornost za strokovno ustreznost gradiva pa je na strani avtorjev gradiva in strokovnih recenzentov".
Kdo je krivec, da takšni učbeniki pridejo v šole?
Največja krivda, da se takšne strokovne napake prikradejo v učbenike, je po Feldovih besedah gotovo pri avtorjih učbenikov, nato pri recenzentih, ki bi, če so "zadevo res prebrali, absolutno morali napake opaziti". "Kakšna tipkarska napaka ali kakšen narobe izračunan račun se spregleda, ne rečem, a tu gre za matematični zapis temeljnih pojmov, ki je napačen," je opozoril.
Ko recenzenti opravijo svoje delo, gre t. i. prednatis učbenika v pregled Predmetni skupini za matematiko na Zavodu za šolstvo, ki ga pregleda in poda pripombe. Glede na že omenjeno povratno informacijo skupine se strokovna ustreznost ne presoja, tako da učbenik zaradi strokovnih napak ni nikoli zavrnjen. Mnenje skupine o usklajenosti s cilji, standardi znanja in vsebinami, opredeljenimi v učnem načrtu se nato pošlje na na komisijo za učbenike, ki se "bolj ali manj zanese na pripombe matematične skupine, saj ne morejo sami vsega pregledati". Komisija za učbenike nato učbenik, ki je dobil pozitivno oceno Predmetne skupine za matematiko Zavoda za šolstvo, pošlje na Strokovni svet RS za splošno izobraževanje, kjer po Feldovih besedah poteka samo še goli formalizem, saj praviloma potrdijo vse, kar pošlje komisija s pozitivno oceno.

So učenci leta 2017 še narobe reševali naloge na matematičnem NPZ-ju zaradi omenjenih učbenikov? "Letos so bile še napake pri reševanju, a opažamo, da so po naših opozorilih vsaj učitelji postali bolj pozorni, in verjetno sami učence opozorijo na napake v učbenikih. Enostavno je treba v učbenikih dopisati, kako je prav, in tiste nedoslednosti prečrtati, to pa po nareku učitelja lahko naredijo učenci," je pojasnil Felda in dodal, da se učenec sam iz nepopravljenih razlag v učbeniku ne more naučiti nič, ker je "zmešnjava v omenjenih učbenikih naravnost neverjetna".

Na Zavodu za šolstvo o zadevi ne vedo nič
MMC-jeva vprašanja Zavodu za šolstvo, zakaj niso glede napak v omenjenih dveh učbenikih ukrepali in zahtevali popravkov že leta 2013, ko jih je nanje opozorila Predmetna komisija za matematiko NPZ-ja, so ostala neodgovorjena. Barbara Petkovšek z Zavoda za šolstvo je povsem "mimo" vprašanja podala naslednji odgovor: "Citirani članek Neverjetna verjetnost se nanaša na učbenika, ki se jima je veljavnost že iztekla. Oba sta bila potrjena leta 2005 oziroma 2008. Komisija za učbenike v primerih, ko pridobi ugotovitve o strokovnih napakah v potrjenih učbenikih, ravna v skladu s Pravilnikom o potrjevanju učbenikov (17. člen). Založbe ugotovitve o napakah odpravijo ob ponatisu. Ob tem je treba vedeti, da je odpravljanje napak v interesu založb, saj se učbeniki z napakami manj uspešno nastopajo nasproti učbenikom 'brez' napak".
Kocka 9 sicer res ni več med potrjenimi učbeniki, ker ji je veljavnost potekla, a je bila z vsemi napakami vred v uporabi do pred kratkim. Skrivnosti števil in oblik 9 pa je z vsemi napakami vred še vedno potrjen od predmetne komisije na zavodu za šolstvo, najbolj "svež" izvod iz leta 2015 pa ima prav tako še vedno notri popolnoma vse napake, na katere je opozarjal prej omenjeni članek. Odgovora Zavoda za šolstvo tako ni mogoče razumeti drugače kot sprenevedanje.
Na ponovno opozorilo, da so vse napake v obeh učbenikih ostale, in dodatno poizvedbo glede neukrepanja pri odpravi napak je prispel še en odgovor, ki med drugim pojasni, kaj bi na Zavodu za šolstvo morali storiti leta 2013, pa očitno niso. "Sedaj veljaven učbenik Skrivnosti števil in oblik 9 je bil potrjen v letu 2013. Učbenik, ki ga obravnava besedilo citiranega strokovnega prispevka, je bil potrjen leta 2008. Za vsebino učbenikov so (predvsem) odgovorni avtorji, recenzenti in uredniki. Zavod Republike Slovenije ocenjuje skladnost s cilji, standardi znanja in vsebinami učnega načrta. Učbenike v potrjevanje pristojnemu strokovnemu svetu predlaga založnik. Napake v potrjenem učbeniku se lahko odpravijo, če je o tem obveščena Komisija za učbenike, ki utemeljenost navedb o napakah preveri in pozove založnika, da jih odpravi," je prav tako zapisala Petkovškova.

Torej bi morali, ko so bili na Zavodu za šolstvo opozorjeni na napake, obvestiti Komisijo za učbenike, ta pa bi morala pozvati založnika, naj popravi napake, a nič od tega se ni zgodilo. Na vprašanje, zakaj se to ni zgodilo, tudi v drugo ni bilo odgovora.
Založbi obljubljata popravke
Z vprašanji smo se obrnili tudi na založbi Modrijan (Kocka 9) in Rokus Klett (Skrivnosti števil in oblik 9). Pri Modrijanu so zgolj na kratko odgovorili, da Kocka 9 ni več potrjena, in hkrati zagotovili, da bo nova izdaja učbenika upoštevala vsa opozorila iz članka Neverjetna verjetnost. Iz založbe Rokus Klett pa so na MMC-jeve poizvedbe odgovorili, da o opozorilih omenjenega članka ne vedo nič ter da niso bili na napake v učbeniku nikoli opozorjeni, so pa prav tako zagotovili, da so že v stiku z avtorji in da bodo popravki v elektronski izdaji upoštevani takoj, v tiskani pa ob naslednji izdaji.

Moderni učitelji in "naslanjanje" na učbenike
Felda je prepričan, da bi morali učitelji slediti učnemu načrtu, ne pa slepo učbenikom, kar se dokaj pogosto dogaja. "Najbrž se prevečkrat vse, kar je v učbenikih, dela kar po vrsti, še posebej izrazito do tega prihaja v novejšem času, ko vsak učbenik učitelju ponuja vnaprej pripravljeno tako letno, kot tedensko in dnevno pripravo za posamezne ure, vse skupaj je zdaj dostopno tudi v elektronski obliki na e-tablah, ki jih učitelji enostavno prižgejo in oddelajo uro," je izpostavil ter dodal, da so vse priprave za posamezne učne ure povsod enake in se izgublja pravi smisel poučevanja. Seveda morajo moderni učitelji, če jih že tako poimenujemo, slediti novostim in temu primerno prilagoditi didaktične prijeme, da sta učenje in pouk kar se da učinkovita.
Starejši suhoparni ali moderni pisani učbeniki?
Na vprašanje, ali so bili starejši suhoparno natančni učbeniki boljši in preglednejši in sodobni učbeniki postajajo preveč "načičkani" z množico slik in različnih dodatkov, da se učenec zmedeno izgubi v njih, je Felda odvrnil: "Sploh ni nujno, da bi bili učbeniki, ki imajo malo več slik in drugega dopolnilnega gradiva, slabi, ker slike pogosto dobro ponazorijo življenjske situacije, če pa so slike dodajane kar tako, da lepše zgleda, je pa to res čisto mimo. Stran učbenika mora biti pregledna in dihati, včasih učbenike res preveč nabutajo, dodajajo preveč slik, okvirčkov in rubrik, kot je 'pomni', 'pozor', 'naloge', 'vaje'... itd., in preglednost se izgubi.

Število odličnjakov je politično vprašanje
V javnosti so večne pavšalne ocene, da vsaka naslednja generacija manj zna, se manj nauči. Mladina strmi samo še v ekrane, tablice in telefone, splošno znanje pa vedno bolj pada. Kaj opažajo na PK-ju za matematiko, postajajo novi rodovi vedno bolj matematično nepismeni? "Nikakor ne morem reči, da je znanje matematike iz leta v leto slabše, saj če pogledamo dosežke NPZ-jev, so ti bolj ali manj konstantni, iz leta v leto se gibljemo tam povprečno med 50 in 58 odstotki, vprašanje, ki se tu pojavlja, je bolj, čemu to vse skupaj sploh služi. Kaj je namen kakršnega koli preverjanja in ocenjevanja? Tudi šolskih ocen. Če so vsi odlični in prav dobri, onih drugih skoraj ni, ne pade pa nihče, se poraja vprašanje, ali smo res tako dobri ali ne," se sprašuje Felda.

"Eden večjih nesmislov je, da se na NPZ-je na nekaterih šolah pripravljajo, nimaš se kaj pripravljati, to znanje je treba izgraditi v letih šolanja," je nadaljeval. Ocene pa so po njegovih besedah politično, ne zgolj vprašanje odstotkov na testih. "Če nekoliko pretiravamo in se določi, da bo nezadostnih en odstotek učencev, se bo to tudi zgodilo. Če bo vsak izmed teh učencev zbral zgolj 5 točk od 50 ali manj, bo 5 točk postavljeno kot meja za zadostno oceno," je sklenil.

So slovenske šole preveč povprečne, se premalo spodbuja odličnost? "Slovenske šole nasploh niso slabe, kar kažejo mednarodne primerjave. Težko pa je oceniti, ali se odličnost premalo spodbuja in ali se moramo res pretirano ukvarjati z vsakim učencem. Na Kitajskem jih je tudi po 100 v razredu, pa se nihče z njimi ne more kaj preveč individualno ukvarjati. Pri nas gremo mogoče preveč v smer ukvarjanja z otroki, zato potem učencem manjka samostojnosti in odgovornosti," je za konec odgovoril Felda.