Podkast Številke obstaja skoraj leto in pol. Ta teden smo tako v središče postavili matematične pojme, kot so številke, števila in števke, nekoliko podrobneje pa predstavljamo še praštevila. Gost je Matjaž Konvalinka, ki na Fakulteti za Matematiko in fiziko predava predvsem predmete s področja diskretne matematike.

Kakšen odnos imate do številke, matematike in statistike?
Številke so mi bile vedno ljube, morda celo bolj kot večini matematikov. Matematiki se načeloma ne ukvarjajo s številkami, ampak bolj s koncepti in abstrakcijami. Če postaneš uporabni matematik (denimo statistik), v življenju vidiš veliko številk, če pa se ukvarjaš z algebro ali topologijo, pa številk v resnici ne vidiš veliko.

Kaj matematiki razumete z besedo število?
Števila v resnici nimajo preproste definicije. Ko enkrat na fakulteti študiraš matematiko, se naučiš, kaj je v resnici število. Definicija realnega

števila je zelo težka, definicija naravnega števila tudi ni lahka. Najlaže si predstavljamo, da je število nekaj, s čimer štejemo. Če pogledamo tri ovce, tri ljudi in tri zvezde, vidimo, da imajo nekaj skupnega. Število tri združuje to, kar sem naštel. Množica ima lahko moč tri. Najpreprostejša definicija naravnega števila je, da je to moč končne množice.

To seveda niso vsa števila, hitro nastane potreba, da bi imel negativna števila. Če nekomu dolgujemo denar, imamo negativno število evrov. Zdaj smo leta 2016, kaj pa je bilo pred tri tisoč leti? Tako potrebujemo negativno števila (cela števila). Hitro dobimo potrebo, da bi opisovali deleže, tako dobimo ulomke in racionalna števila. Kmalu se izkaže, da tudi to ni dovolj in potrebujemo realna števila, kot je število pi. Ne moremo ga zapisati kot ulomek, zato to ni racionalno število. Ko greš tako naprej, ugotoviš, da tudi realna števila niso dovolj in vzamemo kompleksna števila. To pa so števila, ki jih matematiki večinoma uporabljamo.

Že (izhodiščna) naravna števila so neskončna, kar velja tudi za druga. Lahko naredimo oceno, katera množica je močnejša?
Pri končnih množicah nam je hitro jasno, da so ene večje, druge pa manjše. Množica s sedmimi elementi je večja kot množica s tremi elementi. Pri neskončnosti pa dobimo veliko dejstev, ki jih težko razumemo na prvi pogled. Če primerjamo naravna števila in soda števila, takoj vidimo, da je obojih neskončno. Morda se nam zdi, da je naravnih več kot sodih, a z matematičnega vidika sta to enako veliki množici. Sodih števil je natanko toliko kot naravnih. Tudi celih in racionalnih števil je enako kot naravnih, kar je morda presenetljivo dejstvo. Realnih števil pa je več kot naravnih, torej tudi pri neskončnostih imamo večje in manjše, teh konceptov se je treba navaditi.

Kaj pa je številka?
V resnici tudi matematiki glede tega nismo najbolj natančni pri izrazih števka, število in številka. Števka je tako kot črka - simbol, s katerim zapisujemo številke. Število pa je najbolj abstraktni koncept. Vzemiva število 13, imamo 13 zvezd, to je abstraktno. Številka pa je to, kako to zapišemo. Številko 13 zapišemo z 1 in 3, Rimljani bi z X, I, I in I. Pri zapisu številk pa uporabljamo števke. Mi poznamo števke 0, 1, 2, ... 9.

Zdaj prehajava na osrednji del pogovora, kjer bova govorila o praštevilih. Kaj je njihova najpreprostejša opredelitev?
Da razumemo praštevila, moramo najprej znati množiti. Takrat opazimo, da se (naravna) števila delijo na dva tipa. Ena števila so kot 12 - lahko jih zapišimo kot produkt manjših naravnih števil (2 x 6, 3 x 4), nekaterih drugih, kot je 13, pa ne moremo zapisati kot produkt manjših števil. 12 torej ni praštevilo, 13 pa je. Praštevila imajo še veliko drugih uporab (denimo, v grupah, kombinatoriki ...).

Praštevila so naravna števila, in kot velja za naravna, je tudi praštevil neskončno. To je z elegantno rešitvijo že pred več kot dva tisoč leti pokazal Evklid.
To je primer dokaza s protislovjem. Če hočemo dokazati, da jih je neskončno, predpostavimo nasprotno trditev in poskušamo dobiti protislovje. Negacija je v tem primeru, da je praštevil končno. Vsa praštevila torej lahko naštejemo {p₁, p₂, p₃, ..., p_n}, med seboj jih zmnožimo in dodamo še ena. Tu se skriva eleganca, dobili smo namreč novo število, ki ne more biti deljivo z nobenim od p₁, ..., p_n, kar je v nasprotju spredpostavko. Praštevil je torej neskončno.

Ker je števil neskončno, smo priča vedno novemu in novemu lovu na največje znano praštevilo. Trenutni rekorder je bil odkrit pred nekaj meseci. To je število 2^74207281-1 in za njegov zapis potrebujemo več kot 22 milijonov mest. Kako gledate na te love?
Praštevila niso zanimiva le za nas matematike, uporabna so tudi pri računalniški varnosti. Tako iskanje je zabava za ljudi, ki so jim všeč števila. Hkrati pa je vendarle pomembno, ko si sposoben dokazati, da je tako veliko število praštevilo, s tem se mora razvijati tudi tehnologija in algoritmi, posledično pa so naši računalniški sistemi varnejši.

Varnejši so zaradi kriptografije.
Tako je, veliko kriptografije je zamišljene na naslednjem. Če imate tisočmestno število, je zelo lahko ugotoviti, ali je praštevilo ali ne, za to obstajajo učinkoviti algoritmi. A ti odgovorijo le da ali ne. Če ni praštevilo, ne pove, kateri faktorji ga sestavljajo. Kriptografija v osnovi poišče dve dokaj veliki praštevili, ki ju je preprosto zmnožiti. A ko imamo produkt, je težko ugotoviti, katera sta njegova praštevilska faktorja. Poenostavljeno rečeno, zasebni ključ v kriptografiji sta ravno ti praštevili, javni ključ pa je njun produkt. Varnost temelji na tem, da tisti, ki želi vdreti v naš sistem, produkta ne zna razbiti na praštevili.

Praštevil je neskončno, kaj pa lahko poveva o njihovi porazdelitvi?
Če gledamo število praštevil do 10, ugotovimo, da imamo 4 praštevila, torej 40 odstotkov. Do 30 ta odstotek pade na 30 in nato vse bolj, postajajo vse redkejša. Če gledamo praštevila do naravnega števila n, se izkaže, da je delež praštevil približno 1/ln(n).

Med raziskovalci je izjemno zanimiv tudi lov na praštevilske dvojčke.
Gre za dve praštevili, ki se med seboj razlikujeta za 2. Nedokazana domneva je, da je takih praštevilskih dvojčkov neskončno.

Tu gre za bliskovit napredek. Šele leta 2013 je Kitajec Jitang Džang dokazal, da obstaja neskončno praštevil, ki so za med seboj oddaljena za 70 milijonov, zdaj pa je ta korak padel že na 246.
Na začetku so praštevila zelo pogosta, nato so redkejša, a vmes so lahko dolgi nizi, v katerih ni nobenega praštevila. Pred kratkim so tako res dokazali, da obstaja neskončno mnogo praštevilskih parov, ki se med seboj razlikujejo za največ omenjenih 70 milijonov. To je bil res velik dosežek, saj prej ni bilo znanega ničesar. Iz neskončnega smo se premaknili na neko končno številko. To je za matematika izjemno pomembno. Ta korak se je zdaj znižal že na 246, cilj pa je seveda, da se pride do 2.

Vabljeni k poslušanju celotnega pogovora, v katerem Matjaž Konvalinka govori še o življenju v ZDA (kjer je živel šest let), Riemannovi hipotezi, igranju lota, teoretičnem modelu podaljšanih iger v tenisu, ki ga je postavil za Športni SOS ...

Glasbeni izbor Matjaža Konvalinke in njegove hčerke: Svetlana Makarovič - Mačja uganka